Динамика качения диска с наклонной скользящей опорой 

Евгения Арифжановна Микишанина, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова (Россия, г. Чебоксары, Московский проспект, 15), evaeva_84@mail.ru

531.384 

DOI

10.21685/2072-3040-2021-3-4 

Актуальность и цели. Неголономные механические системы могут быть моделями различных технических и робототехнических устройств. С учетом современных тенденций актуальность исследования неголономных систем очевидна и неоспорима. К неголономным моделям относятся модели качения различных тел: шаров, дисков, эллипсоидов и др. Данная работа посвящена исследованию еще одной  неголономной модели качения по горизонтальной плоскости тяжелого однородного осесимметричного диска, соединенного с невесомой опорой. Причем в точке контакта диска с плоскостью качения отсутствует проскальзывание, а в точке контакта опоры с плоскостью качения наоборот, наблюдается идеальное скольжение. Это определяет наложение на систему дополнительных связей: неголономной в первом случае и голономной во втором. Материалы и методы. Для анализа динамики рассмотренной системы поставлены уравнения движения в форме Пуанкаре – Суслова, определены первые интегралы движения и инвариантная мера там, где она существует. В более ранних работах учеными показана интегрируемость классической задачи о качении диска по горизонтальной поверхности. В данной постановке также показана интегрируемость системы дифференциальных уравнений. Результаты и выводы. Получены аналитические решения в виде периодических функций от времени в случае динамически симметричного диска. В случае динамически несимметричного диска нахождение аналитического решения сведено к эллиптическим квадратурам. В последнем случае на основании численных расчетов также построены фазовый портрет редуцированной на уровень интегралов системы и графики искомых механических параметров. Для построения фазовых портретов и графиков параметров использовался программный комплекс «Computer Dynamics: Chaos». 

Ключевые слова

 неголономная модель, динамическая система, диск, фазовый портрет

 Скачать статью в формате PDF

1. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1903. Т. 24. С. 136–168.
2. Borisov A. V., Mikishanina E. A. Dynamics of the Chaplygin Ball with Variable Parameters // Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, № 3. P. 453–462.
3. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. Dynamics of the Chaplygin Ball on a Rotating Plane // Russ. J. Math. Phys. 2018. Vol. 25, № 4. P. 423–433.
4. Москвин А. Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 3. С. 345–356.
5. Мощук Н. К. О движении шара Чаплыгина на горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47, № 6. С. 916–921.
6. Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н. Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2017. Т. 13, № 2. С. 277–297.
7. Борисов А. В., Казаков А. О., Сатаев И. Р. Регулярные и хаотические аттракторы в неголономной модели волчка Чаплыгина // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 3. С. 361–380.
8. Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2008. № 3. С. 33–41.
9. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика саней Чаплыгина // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73, № 2. С. 219–225.
10. Borisov A. V., Mamaev I. S. An inhomogeneous Chaplygin sleigh // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2017. Vol. 13, № 4. P. 625–639.
11. Ифраимов С. В., Кулешов А. С. О движении саней Чаплыгина по выпуклой поверхности // Автоматика и телемеханика. 2013. № 8. С. 80–90.
12. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A., Bizyaev I. A. Qualitative analysis of the dynamics of a wheeled vehicle // Regul. Chaotic Dyn. 2015. Vol. 20. P. 739–751.
13. Borisov A. V., Mikishanina E. A. Two nonholonomic chaotic systems. Part II. On the rolling of a nonholonomic bundle of two bodies // Regul. Chaotic Dyn. 2020.
Vol. 25, № 4. P. 392–400.
14. Borisov A. V., Mikishanina E. A., Sokolov S. V. Dynamics of a multi-link uncontrolled wheeled vehicle // Russian Journal of Mathematical Physics. 2020. Vol. 27, № 4.
P. 433–445.
15. Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Invariant submanifolds of genus 5 and a Cantor staircase in the nonholonomic model of a snakeboard // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2019. Vol. 29. Р. 1930008.
16. Slesser G. M. Notes on rigid dynamics // Quart. J. of Math. 1861. Vol. 4. P. 65–77. 17. Ferrers N. M. Extension of Lagrange’s equations // Quart. J. Pure Appl. Math. 1872. Vol. 12, № 45. P. 1–5.
18. Neumann C. Über die rollende Bewegung einer Körper auf einer gegebenen Horisontal Ebene unter dem Einflüss der Schweren // Math. Annal. 1886. Bd. 27. S. 478–505.
19. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Исследования по динамике неголономных систем. М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. С. 9–27.
20. Appell P. Sur l’intégration des équations du movement d’un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau // Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900. T. 14. P. 1–6.
21. Korteweg D. Extrait d’une letter â M. Appel // Rendiconti del circolo matematico di Palermo. 1900. Vol. 14. P. 7–8.
22. Gellop E. G. On the rise of a spinning top // Proc. Cambr. Phylos. Soc. 1904. Vol. 19, Pt. 3. P. 356–373.
23. Козлов В. В. О движении диска по наклонной плоскости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1996. № 5. С. 29–35.
24. Кулешов А. С. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, № 1. С. 173–175.
25. Batista M. Steady motion of rigid disk of finite thickness on a horizontal plane // Internat // J. Non-Linear Mech. 2006. Vol. 41, № 4. P. 605–621.
26. Batista M. The nearly horizontally rolling of a thick disk on a rough plane // Regul. Chaotic Dyn. 2008. Vol. 13, № 4. P. 344–354.
27. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk // Regul. Chaotic Dyn. 2003. Vol. 8, № 2. P. 201–212.
28. Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S. An invariant measure and the probability of a fall in the problem of an inhomogeneous disk rolling on a plane // Regul. Chaotic Dyn. 2018. Vol. 23, № 6. P. 665–684.
29. Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А., Бизяев И. А. Избранные задачи неголономной механики. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2016.980 с.
30. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 384 с.
31. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики // Успехи механики. 1985. Т. 8, № 3. С. 85–101.